ARTIGO FINAL MATEMÁTICA - COLÉGIO ESTADUAL PADRE EDUARDO MICHELIS
Geometria analítica – Uma nova forma, baseando-se numa visão Interdisciplinar
Resumo
Este artigo relata o desenvolvimento de projeto interdisciplinar na segunda fase dos Curso de formação dos professores do PACTO do Estado do Paraná do ano de 2015. Nele estão envolvidas sugestões e possíveis vínculos entre disciplinas vinculadas no Ensino Médio, como Física, Geografia, Na Física os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as características relacionadas a tamanho, direção e sentido, na Geografia podemos localizar posições baseadas no mapa mundial através da aplicação de um sistema de coordenadas, utilizando o plano cartesiano.
Palavras-chave
Projeto Interdisciplinar, Vetores, Coordenadas.
1 - INTRODUÇÃO
O Projeto Interdisciplinar é desenvolvido na segunda fase do Curso do Pacto do Ensino Médio do Estado do Paraná – no Colégio Estadual Padre Eduardo Michelis, onde cada grupo foi formado por professores de diversas áreas e desenvolveu um tema interdisciplinar de matemática, sendo o tema proposto à Geometria analítica.
A geometria analítica veio do ideal de unir álgebra e geometria. Num plano coordenado, podem ser localizadas retas, curvas, círculos, ou seja, todos os conceitos fundamentados na ideia primitiva de ponto. Nosso projeto envolve diretamente as disciplinas de Matemática, Física e Geografia, os conteúdos envolvidos são Vetores e Sistema de Coordenas utilizando o plano cartesiano.
Na Física vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as características relacionadas a tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico entre outros conteúdos relacionados.
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.
Na Geografia Podemos utilizar o sistema de coordenadas para nos localizar, localizar pessoas ou imóveis, tendo por referência um ponto de origem no qual estamos no momento, os eixos ruas, avenidas, etc., e um ponto de chegada ou local no qual queremos chegar.
O Projeto Interdisciplinar possibilita a nós Professores a resolução de situações problema que poderão surgir em sua atuação como profissional da área, incorporando os conceitos, procedimentos, atitudes e habilidades discutidas durante o curso, buscando outros conhecimentos que poderão enriquecer a nossa formação.( Fazenda, 2002; Fazenda, 2008).
2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A Geometria Analítica é um método de estudo da Geometria, assim como toda a ciência tem seus próprios métodos, e é definida por Boulos e Camargo (1987) como o estudo da Geometria pelo método cartesiano (René Descartes, 1596-1650). Considerando esta definição, constatamos que a Geometria Analítica tem a Álgebra como sua aliada mais importante, além de que é por meio deste método de estudo que Geometria e Álgebra se relacionam, pois problemas de Geometria são resolvidos por processos algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente e esta transição é um processo de suma importância à construção do conhecimento nessa área.
Devido à sua estrutura algébrico-geométrica, a Geometria Analítica se constitui em um dos alicerces do currículo básico do curso de Matemática, enquanto disciplina, tanto de licenciatura quanto de bacharelado e, como não poderia deixar de ser, ela aparece no currículo da maioria dos cursos da área de ciências exatas (Engenharia, Arquitetura, Física, Ciência da Computação). Ainda, ela tem ramificações em outras disciplinas do currículo específico destes cursos, entre elas, Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Análise Matemática, Fundamentos de Geometria, Geometria Euclidiana, Física e Computação Gráfica. Essas ramificações não são meras aplicações de conceitos de uma área em outra. Munhoz (1999) mostra que a Geometria Analítica apresenta uma dialética entre a Geometria e a Álgebra permeada pela língua natural, ou seja, todo e qualquer problema proposto em Geometria Analítica, tem sua interpretação geométrica e algébrica. No término do seu estudo, este autor constatou que a ambiguidade de alguns termos dessa disciplina influencia a compreensão de problemas matemáticos pelos alunos.
Da mesma forma, os educadores matemáticos Hillel e Sierpinska (1994) apud Di Pinto (2000) enfatizam que a Geometria Analítica é uma relação explícita entre Geometria e Álgebra, tal que, um dado problema pode ser interpretado em ambas às áreas, mas que, de um modo geral, as dificuldades apresentadas pelos alunos em cada área especificamente vêm comprometendo a aprendizagem dos mesmos.
A Geometria Analítica utiliza-se do raciocínio dedutivo a partir de teoremas para obter proposições verdadeiras. São utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está presente no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas. É possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes em álgebra, e vice-versa; os métodos podem ser utilizados para solucionar problemas no outro. É muito utilizada na física e na engenharia, sendo o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.
O sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações sem planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas, por vezes, também em três ou mais. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma.
3 – INTERDISCIPLINARIDADE
A postura interdisciplinar do professor no processo ensino aprendizagem é uma contribuição fundamental para a reflexão e o encaminhamento de soluções às dificuldades relacionadas ao ensino, à aprendizagem e à pesquisa, superando a dicotomia entre pedagogia e epistemologia, entre ensino e produção de conhecimento científico. A sala de aula é um espaço de relações pedagógicas. O estabelecimento dessas relações entre as diversas áreas do saber é que possibilita analisar, entender, explicar os acontecimentos e entender fatos e fenômenos passados e presentes, para projetar, simular o futuro. Nesse ambiente, estabelece-se a interdisciplinaridade, a fim de construir de forma coletiva uma integração das potencialidades e habilidades de todos os integrantes. Smole (2000) acrescenta que:
Por isso, a aula deve tornar-se um fórum de debate e negociação de concepções e representações da realidade, um espaço de conhecimento compartilhado, no qual os alunos sejam vistos como indivíduos capazes de construir, modificar e integrar ideias, tendo a oportunidade de interagir com outras pessoas, com objetos e situações que exijam envolvimento, dispondo de tempo para pensar e refletir acerca de seus procedimentos, de suas aprendizagens dos problemas que têm que superar. (Novos Saberes Oberziner, Oberziner, 2014).
A aprendizagem significativa não combina com a ideia de conhecimento encadeado, linear. Neste sentido, o projeto interdisciplinar, passa a ser segundo Nogueira (2008) “Uma estratégia que poderá unir, ligar e inter-relacionar, integrar, propiciar ações coletivas e cooperativas, que envolvam toda a comunidade, os diferente saberes e conhecimentos”. Com isso, podemos dizer que o projeto tem uma intencionalidade, um desejo, uma necessidade.
4 – ATIVIDADES INTERDISCIPLINARES
Podemos propor diversas atividades a serem utilizadas em sala de aula, as quais vinculam as disciplinas citadas de Física, Matemática e Geografia.
Abaixo vamos relacionar alguns jogos e músicas que podem ser utilizados para facilitar o aprendizado de nossos alunos:
Atividade 1: As aventuras do Geodetetive 2: Latitude e Longitude
Mídia: Vídeo
Objetivos: GEOMETRIA DA TERRA, LONGITUDE, LATITUDE
Descrição: Explicar como são estabelecidas as coordenadas geográficas, latitude e longitude, usadas na localização de qualquer ponto da superfície da Terra.
Figura Atividade1
Atividade 2: Desenho Geométrico utilizando uma malha quadriculada a partir de regras geométricas
Objetivos:
1. Obter padrões geométricos;
2. Familiarizar o aluno com o conceito de vetores no plano.
Figura atividade 2
Atividade 3
Mídia: Software Geogebra.
Descrição: Este software propõe um jogo no qual o aluno deve construir um triângulo que obedeça às propriedades pedidas.
Conteúdo: Classificação de triângulos, coordenadas no plano, distância entre pontos.
Figura atividade 3
Atividade 4:
Mídia: Vídeo
Descrição: A personagem principal deste vídeo, Kátia, precisa construir um jardim que tenha a forma da bandeira brasileira. Para isso ela conta com a ajuda de Liliane, que explica que o problema pode ser resolvido com auxílio da geometria analítica, fazendo a identificação do jardim com um plano cartesiano.
Conteúdo: Plano cartesiano, coordenada de pontos, retas e circunferências.
Recomendação de uso: Este vídeo é recomendado como uma aplicação dos conceitos básicos de Geometria Analítica abrindo portas para conceitos mais avançados, como a representação algébrica de circunferências.
Figura atividade 4
Atividade 5
Mídia: Vídeo.
Objetivo: Aplicar conceitos básicos de Geometria Analítica para encontrar o local onde um tesouro foi escondido em uma suposta ilha, na qual uma das referências do mapa não está mais presente.
Disciplinas e conteúdo envolvido: Coordenadas cartesianas, ponto médio na Matemática, mapas, localização em Geografia.
Figura atividade 5
Atividade 6
Jogo BATALHA NAVAL
Tema: Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas. Tem como objetivo levar o aluno a conhecer o Sistema Cartesiano Ortogonal através do jogo “Batalha Naval”;
Passos: Jogo – Batalha Naval - Ensinar as regras do jogo - Formação de duplas - Determinação do tempo de partida – 10 min - Apresentação do assunto - Relacionar o jogo com as coordenadas cartesianas - Construir a definição de coordenadas com os alunos. Marcação dos pares ordenados no papel milimetrado. Esses pares serão construídos a partir dos pares do jogo.
REGRAS DO JOGO Embarcações (navios) disponíveis - 5 Hidroaviões 4 Submarinos 3 Cruzadores - 2 Encouraçados - 1 Porta-aviões
Preparação do jogo:
1. Cada jogador distribui suas embarcações pelo tabuleiro. Isso é feito marcando-se no reticulado intitulado "Seu jogo" os quadradinhos referentes às suas embarcações.
2. Não é permitido que duas (2) embarcações se toquem.
3. O jogador não deve revelar ao oponente as localizações de suas embarcações.
Jogando (regra mais fácil):
Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinte procedimento:
1. Anunciará 3 pontos (localizações), indicando a coordenadas do alvo através do número da linha e da letra da coluna que definem a posição. Para que o jogador tenha o controle dos pontos anunciados, deverá marcar cada um deles no reticulado intitulado "Seu jogo”.
2. Após cada um dos pontos localizados, o oponente avisará se acertou e, nesse caso, qual a embarcação foi atingida. Se ela for afundada, esse fato também deverá ser informado.
3. A cada ponto acertado em um alvo, o oponente deverá marcar em seu tabuleiro para que possa informar quando a embarcação for afundada.
4. Uma embarcação é afundada quando todas as casas que formam essa embarcação forem atingidas.
5. Após os 3 pontos localizados e as respostas do oponente é a vez para o outro jogador.
O jogo termina quando um dos jogadores afundar todas as embarcações do seu oponente.
Exercício:
Segundo Elemento.
Nessas condições, responda:
a) Quais as posições ocupadas pelo seu porta-aviões?
b) Se o seu adversário disparar um “ponto” para a posição (6,E), atingirá algum de seus navios?
c) Se o seu adversário disparar um “ponto” para a posição (7,G), atingirá algum de seus navios?
d) Qual número mínimo de “pontos” que seu adversário deve dar para afundar todos os seus rebocadores?
e) O seu cruzador será afundado se o seu adversário disparar 4 “pontos” para quais posições?
f) Se o seu adversário der 25 “tiros” seguidos e todos certeiros, ele conseguirá afundar toda a sua frota?
Sistemas de coordenadas
Ao brincar com o jogo “Batalha Naval” e ao disparar um “tiro” você diz a posição representada por um número e uma letra para tentar acertar o armamento do adversário.
Essas informações são as coordenadas do local de destino do “tiro”.
Em muitas outras situações do cotidiano, necessitamos de sistemas de coordenadas. Por exemplo: um ponto de uma estrada é localizado pela marca quilométrica; um ponto sobre a superfície da Terra é determinado por dois números chamados de latitude e de longitude; um ponto do espaço aéreo é localizado por três números – a latitude, a longitude e a altitude.
Do mesmo modo, para localizar um ponto em um plano, podemos adotar um sistema de coordenadas, e o mais usual é o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, apresentado a seguir.
Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
Para localizar um ponto no plano, podemos fixar nesse plano um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, que é formado por dois eixos reais, Ox eOy , perpendiculares entre si no ponto O.
Por exemplo, para determinar o ponto P da figura a seguir, traçamos por P as perpendiculares a Ox eOy ,obtendo, nesses eixos, dois números chamados de abscissa
(horizontal) e ordenada (vertical) do ponto P, respectivamente.
Imagem atividade 6
Atividade 7
Paródia da música Amor Perfeito envolvendo Geometria
Paródia do Neizino Carlos
Fecho os olhos pra entender como dois planos, podem no espaço ficar
Planos secantes, coincidentes e paralelos, sem isso não sei viver
Então vem que agora vou contar para todos vocês
Eu não consigo esquecer
Cada minuto é muito tempo pra aprender, pra aprendeeeeer
As retas vão passando paralelas, não tem ponto em comum
Até quando chega as coincidentes, que tem todos os pontos em comum
Então, vem que agora vai chegar as retas secantes
E temos apenas um ponto em comum
Já as reversas não tem planos que as contém, que as contéeeeeemmm
Eu não vou saber me encontrar
Sem a geometria pra mostrar
Sem teoria pra entender
Sem matemática, desafios e sem vocês
Vem me tirar da escuridão
Fazer aprender meu coração
Já não importa quem errou
Pois quem passou, passou, então vem.
4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após realizarmos a pesquisa do artigo e analisarmos as atividades, o grupo constatou que a interdisciplinaridade já está presente em muitos conteúdos e atividades nas diversas disciplinas. Nestas situações o conteúdo se torna mais atrativo para os educandos, estimulando-os a desenvolver mais conhecimento dentro de ambas as disciplinas envolvidas.
A matemática é vista por muitos alunos como disciplina de difícil entendimento. Este conteúdo do artigo nos mostrou uma forma de facilitar o aprendizado dos educandos e que através do lúdico consegue-se desafiar o aluno estimulando a desenvolver as atividades.
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