CADERNO V - MATEMÁTICA

COLÉGIO ESTADUAL MONSENHOR GUILHERME ENSINO FUNDAMENTAL, MÉDIO E PROFISSIONAL – FOZ DO IGUAÇU, PARANÁ
ETAPA II – CADERNO V
CURSISTAS
Elizabeth Lopes dos Santos
Gislaine Aparecida Poli
Jean carlo Bresolin
José Augusto de Mello
Ledir Kreuzberg Marcelino
Maria Ingrid Britz Guder
Mario Celso de Souza
Vagner da Silva Costa
1. Contextualização e contribuições
Já discutido, apresentado em outros momentos a relações no dia a dia, há muitas escolhas em relação aos conteúdos trabalhados na escola que são feitas sem levar em consideração as necessidades dos estudantes e, principalmente, sem que se procure organizar contextos em diversas áreas que auxiliem na atribuição de significados pelos estudantes.
Os tipos de pensamento matemático e sua relação com o fazer escolar
Caracterizar o pensamento matemático não é tarefa trivial, por mais que se queira. Em se tratando da Matemática para a escola de Educação Básica, essa tarefa se torna ainda mais delicada, uma vez que se faz necessário superar certas tradições que vêm caracterizando a escolha de conteúdos escolares sem a devida atenção à necessidade de explorar as características dessa ciência, de modo que favoreçam o desenvolvimento integral.Mesmo com critérios de validação baseados em princípios lógicos comuns a todos seus campos, o fazer matemático mobiliza quatro diferentes tipos de raciocínios ou intuições:

1)  o pensamento indutivo (ou raciocínios plausíveis, presentes no ato de criação matemática, na formulação intuitiva de novas conjecturas a serem validadas posteriormente)
No caso do pensamento indutivo, podemos conceber atividades que possibilitam aos estudantes construir determinadas hipóteses, por exemplo, em relação a alguns algoritmos elementares: por que o resto de uma divisão não pode ser maior que o divisor? E como esse fato pode ser relacionado à representação decimal dos números racionais?

2)  o raciocínio lógico-dedutivo (próprio da Álgebra e Geometria, por exemplo, e de tudo que diz respeito a provas de propriedades em todos os campos da Matemática).     Para o raciocínio lógico-dedutivo é necessário observar a utilização de determinadas regras, que podem ser simplesmente tomadas como verdadeiras ou provadas anteriormente e, a partir dessas regras, construir novas. Assim, usamos raciocínio lógico-dedutivo quando provamos a validade da propriedade (b) a partir da propriedade (a), enunciadas a seguir:
(a) Duas retas são paralelas se, e somente se, os ângulos correspondentes determinados por elas com uma reta transversal têm medidas iguais.
(b) Uma reta que corta dois lados de um triângulo é paralela ao terceiro lado do mesmo triângulo se, e somente se, determina um triângulo semelhante ao primeiro.

3) a visão geométrico-espacial (necessária para o aprendizado significativo da geometria e de suas aplicações) .
No caso da visão geométrico-espacial, as estruturas que permitem o uso de tal pensamento advêm da interação com os objetos e com os movimentos no espaço físico. Podemos caracterizá-lo a partir da construção de representações mentais que possibilitam, por exemplo, reconhecer características de figuras geométricas (É um paralelepípedo? É um cubo?).
4) o pensamento não-determinístico (característico da estatística e da probabilidade, campos que estudam eventos que envolvem aleatoriedade).
Já no caso do pensamento não-determinístico, entramos no campo da incerteza e da variabilidade, duas noções que, para muitos, parecem não ter relação com a Matemática. Entretanto, são inúmeras as situações nas quais interagimos fazendo uso desse tipo de raciocínio: a definição de critérios e condições que influenciam determinados fenômenos sociais (como movimentos migratórios, intenção de voto) ou ambientais (probabilidade de chuva ou de tempestade ou valores de variação da umidade relativa do ar); a escolha de trajetos no bairro, em uma cidade ou oferecidos por sistemas de localização (GPS) levando em consideração o tempo de trajeto, o tráfego, dentre outros.     É importante proporcionar experiências escolares que promovam o desenvolvimento desses quatro tipos de raciocínios ou intuições, fazendo escolhas mais adequadas às necessidades de compreensão e usos dos conhecimentos matemáticos em contextos enriquecedores.
Reconhecimento das práticas de docência: a relação da Matemática com outras áreas e outros componentes curriculares. A organização curricular do Ensino Médio tem uma base nacional comum e uma parte diversificada que não devem constituir blocos distintos, mas um todo integrado, de modo a garantir tanto conhecimentos e saberes comuns necessários a todos os estudantes, quanto à formação que considere a diversidade e as características locais e especificidades regionais.
A otimização de espaço/tempo pode abrir caminhos para atividades integradoras, das quais participem especialistas de diferentes componentes curriculares. Tais atividades, além de trazerem vantagens no aporte de contextualização e atribuição de significados aos estudantes, requerem um planejamento coletivo, o que certamente implicará na discussão sobre a relevância e pertinência de vários dos conteúdos abordados.     É importante salientar que contextualização e interdisciplinaridade são, muitas vezes, reduzidas ao uso de situações-problema ou exemplos simples em atividades de Matemática que envolve conceitos de outros diversos conhecimentos de diferentes áreas para a compreensão curriculares/disciplinas, sem estabelecer relações mais consistentes entre eles. Assim, não podemos chamar de contexto um problema sobre movimento retilíneo uniforme ou velocidade média, cujo único objetivo é que o estudante escreva e resolva uma equação. Contexto não é mero pretexto.

2. Os sujeitos estudantes do Ensino Médio e os direitos à aprendizagem e ao desenvolvimento humano na área de Matemática
Os sujeitos estudantes do Ensino Médio e os direitos à aprendizagem e ao desenvolvimento humano na área de Matemática     O jovem chega ao Ensino Médio proveniente de diferentes “tribos” e pode, eventualmente, vir a se integrar em algum novo grupo a partir da realidade vivida na escola.
É importante que a instituição acolha os interesses juvenis. Para tanto, convém que as escolas de Ensino Médio desenvolvam projetos educacionais, de qualidade social, adequados às características das juventudes que a frequentam, permitindo que muitos dos desejos que trazem se transformem em projetos que possam ser perseguidos e concretizados. Professores, no Parecer das DCNEM, (BRASIL, 2011, p. 9) indica-se a necessidade da “reinvenção” da escola. Vamos refletir sobre como a Matemática pode contribuir nesse processo? Como instigar estudantes com a Matemática escolar quando a sala de aula é vista como um local desinteressante, caracterizado por poucas interações, ausência de espontaneidade e de questionamentos?
Os jovens fazem parte de grupos sociais diferentes constituídos a partir, por exemplo, de interesses, conveniências, afinidades ou proximidades regionais. Não podemos esquecer também que muitos “vivem” num mundo virtual no qual estão permanentemente conectados uns com os outros, mesmo não estando próximos fisicamente, mas acessíveis e presentes o tempo todo.
Ao chegar no Ensino Médio, de um modo geral, as questões de diversos jovens frequentemente não envolvem problemáticas muito elaboradas, as perguntas são cada vez mais particulares, localizadas, com interesses imediatos.     Nos dias de hoje, dada a facilidade de acesso à informação, muitos jovens, se porventura tiverem algum questionamento ou pergunta, acreditam que a Internet possa responder e, na sua visão, de forma rápida e eficiente. Na verdade, sites de busca podem fornecer respostas satisfatórias, mas, na maioria das vezes, é necessário um nível de crítica e questionamento adequados, não sendo possível aceitar, a priori, todas as opções que aparecem como resposta. Evidentemente, dependendo da pergunta colocada, será necessária, além de uma seleção criteriosa, uma leitura cuidadosa e aprofundada do material escolhido para poder concluir sobre o assunto pesquisado. Em todo caso, o discernimento e a crítica são características importantes a serem desenvolvidas no estudante do Ensino Médio. É essencial, paulatinamente, conduzir o jovem para uma revisão de seus saberes ou crenças, e para, em particular, uma desmistificação do poder absoluto da Internet.     Especificamente em atividades matemáticas, é fundamental a crítica relativa aos resultados obtidos na máquina, como no caso das aproximações de números com infinitas casas decimais.   O que é uma limitação “natural” da máquina pode possibilitar uma discussão frutífera com os estudantes, que envolve um “preconceito” relativo à tão difundida exatidão na Matemática. De fato, numa máquina, seja ela uma calculadora relativamente simples ou o mais sofisticado computador, não há espaço para o “infinito”. No visor ou na tela sempre aparecerá uma quantidade finita de dígitos, o que, no caso de um número com infinitas casas decimais, constitui uma aproximação. Como sugere Moran, a educação escolar precisa compreender e incorporar mais as novas linguagens, desvendar os seus códigos, dominar as possibilidades de expressão e as possíveis manipulações. É importante educar para usos democráticos, mais progressistas e participativos das tecnologias, que facilitem os processos de construção do conhecimento. (MORAN, 1999, p. 5-6). E ainda, se por um lado as TIC favorecem a comunicação e a identificação entre os jovens propiciando novos processos de socialização, por outro, podem também “produzir novas e mais severas formas de exclusão social, aprofundando as desigualdades sociais”. (BRASIL, 2014, p. 80). Outro fato a ser considerado é que, em geral, os jovens sabem mais e melhor utilizar as ferramentas informáticas do que os adultos. A possibilidade que se abre dessa maneira é a de os estudantes poderem vir a compartilhar conhecimentos com o professor. Em geral, tal situação pode ser muito prazerosa porque os estudantes se sentem valorizados por possibilitarem aos seus professores a aprendizagem: os papéis se invertem na sala de aula.
Uma das principais finalidades da Matemática é a de desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas, de comunicar, de analisar criticamente uma situação, considerando suas diferentes possibilidades ou restrições. É importante fazer com que o estudante compreenda que, em Matemática, não basta uma hipótese ou conjectura ser verificada em um ou alguns casos para concluir-se que a afirmação seja verdadeira sempre. É imprescindível encontrar propriedades e argumentos matemáticos para validá-la ou fornecer um contraexemplo para rejeitá-la, assim como poder comunicar suas conclusões em linguagem apropriada. Tais procedimentos levam ao desenvolvimento de aspectos essenciais da competência matemática e de repertório de linguagens específicas que permitem a comunicação adequada das ideias na área. É nessa perspectiva que o ensino pode contribuir para desenvolver uma atitude positiva face à Matemática e, de modo mais amplo, face à ciência. De fato, levar os estudantes a desenvolver a atitude/curiosidade de formular conjecturas e procurar validá-las, desenvolve o espírito crítico, a capacidade de argumentação e a criatividade.     Entretanto, tradicionalmente a Matemática escolar privilegia cálculos e memorização e o ensino é focado em técnicas operatórias e prescrição de procedimentos, sem justificativas; também, as avaliações costumam restringir-se a repetições das mesmas técnicas ou procedimentos. Assim os estudantes incorporam a ideia de que Matemática é tão somente executar ações do tipo: “calcular”, “efetuar”, “simplificar”, “determinar” etc. E mais, a ênfase no seu caráter técnico e formal, a falta de conexão entre os diferentes campos e suas aplicações limitam a percepção dos jovens que acabam considerando a Matemática como um mero conjunto de regras, fórmulas e procedimentos.     Precisamos ter presente que, segundo Machado (2000), mais do que ministrar conteúdos, cabe ao professor a tarefa de estimular a elaboração de projetos. Uma vez que um projeto nasce de uma pergunta, é importante então fazer renascer nos estudantes a capacidade de formular perguntas. Talvez seja importante insistir: uma vez que se espera que o estudante aprenda a ter projetos e, ainda antes, seja capaz de se fazer pergunta, torna-se necessário estimulá-lo o tempo todo para isto. Será também possível estabelecer entre os estudantes a permuta de questões criadas por eles próprios. Evidentemente, tal trabalho fornecerá muitas informações. A questão proposta pelo estudante é pertinente? A questão proposta é original? É criativa? Estas e outras questões que o professor considerar relevantes, virão a constituir um repertório interessante para que conheça melhor cada um de seus estudantes, podendo ser parte de uma avaliação diagnóstica qualitativa de sua classe.

3. Trabalho, cultura, ciência e tecnologia na área de Matemática
As DCNEM preveem no seu artigo 5º, alínea VIII, que a Organização do Ensino Médio baseia-se na “integração entre educação e as dimensões do trabalho, da ciência, da tecnologia e da cultura como base da proposta e do desenvolvimento curricular”. (DCNEM, 2012, grifo nosso). No artigo seguinte, lê-se,
Art. 6º O currículo é conceituado como a proposta de ação educativa constituída pela seleção de conhecimentos construídos pela sociedade, expressando-se por práticas escolares que se desdobram em torno de conhecimentos relevantes e pertinentes, permeadas pelas relações sociais, articulando vivências e saberes dos estudantes e contribuindo para o desenvolvimento de suas identidades e condições cognitivas e socioafetivas.
Inicialmente, fazemos uma breve discussão sobre a Matemática na história, salientando como a produção desses conhecimentos teve ligações estreitas com trabalho, cultura, ciência e tecnologia. A seguir, discutiremos exemplos de conhecimentos e conceitos matemáticos próprios do Ensino Médio, que consideramos relevantes e pertinentes se quisermos pensar um  desenvolvimento curricular que efetivamente seja embasado nas dimensões do trabalho, cultura, ciência e tecnologia.
OBJETIVO: Apresentar algumas reflexões sobre como a Matemática articula-se especialmente com as quatro dimensões integradoras, mas, também com as demais áreas de conhecimento no Ensino Médio. Professor, professora, sugerimos fortemente que releia as páginas de 20 a 36 do Caderno IV citado.
Entendemos como trabalho o modo pelo qual o ser humano produz para si o mundo, os objetos e as condições de que precisa para existir. [...];
chamaremos de cultura o conjunto dos resultados dessa ação sobre o mundo. [...] A cultura é o próprio ambiente do ser humano, socialmente formada com valores, crenças, objetos, conhecimentos etc. (BRASIL, 2013c, p. 21-22, grifos dos autores);
A esta concepção de trabalho está associada a concepção de ciência e tecnologia: conhecimentos produzidos, sistematizados e legitimados socialmente ao longo da história, como resultado de um processo empreendido pela humanidade na busca da compreensão e da transformação dos fenômenos naturais e sociais. (BRASIL, 2013b, p. 23, grifos dos autores).
O que segue pretende explicitar, a partir da área de Matemática e em situações mais concretas, as questões discutidas de forma geral anteriormente. Antes mencionado. Para tanto, faremos uma breve discussão sobre a Matemática na história.
As origens dos conceitos matemáticos são tão antigas quanto a própria cultura. • As motivações para a construção desses conceitos foram problemas ligados, por exemplo, ao comércio, à agricultura, às construções de grande porte ou às observações e registros sobre corpos celestes. • O que acarretou o desenvolvimento de ciência e tecnologia, constituindo portanto a cultura das respectivas épocas e sociedades.
Por Exemplo: O desenvolvimento de calendários foi uma questão central na China antiga; Os babilônios elaboraram sistemas de cálculo de áreas e métodos para a resolução de problemas comerciais;
Por sua vez, os egípcios usaram conhecimentos matemáticos para a construção de suas pirâmides; Grécia antiga, Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) utilizou conhecimentos para construir diversos tipos de artefatos.
São exemplos disso, na Antiguidade: Construções arquitetônicas de grande porte; Catapultas de longo alcance; Relógios Solares; inscrições deixadas em cavernas;
Gerada a partir de necessidades sociais ligadas, entre outras, à economia, à política ou até a questões bélicas, a Matemática foi uma produção humana, e portanto, uma manifestação cultural, sendo enquanto produção humana, tanto determinante quanto determinada pelo trabalho, pela ciência e pela tecnologia.
Assim, no século VI a.C., a escola pitagórica unia Matemática, Filosofia e misticismo, deixando registros de importantes relações entre números e figuras geométricas.
O legado de Os Elementos, de Euclides de Alexandria (século III a. C.). Primeiro tratado sistemático encontrado sobre o conjunto dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos da Grécia antiga.
Professores, sugerimos assistir ao filme espanhol “Alexandria” dirigido por Alejandro Amenábar de 2009, que relata a história de Hipátia. Ele abre portas para reflexões sobre o contexto histórico, a valorização da ciência, o papel da mulher, questões que podem ser discutidas em sala de aula.
No Renascimento, Leonardo da Vinci (1452 – 1519) merece destaque por ter sido - como se diria nos dias de hoje - matemático, engenheiro, inventor, anatomista, pintor, escultor, arquiteto e botânico.
É bastante conhecido o uso que fez de geometria e de proporções tanto em seus quadros e esculturas, como nas construções que projetou. Os esboços encontrados de suas obras mostram com clareza a integração da ciência com a arte, da matemática com a biologia, e outras integrações tantas que se consigam elencar, como atesta o famoso esboço do Homem Vitruviano, a seguir reproduzido.
Marcus Vitruvius foi um arquiteto romano em I a.C., autor do famoso tratado sobre arquitetura intitulado De Arquitetura, de dez volumes. No livro III o autor indica o que considera como as proporções de um corpo humano. Assim surgiu a ideia de Homem Vitruviano. Posteriormente, no Renascimento, Leonardo da Vinci, para ilustrar suas notas a respeito desta obra, realiza o famoso desenho apresentado aqui.
Retomemos considerações feitas no Caderno II da Etapa I: O que muda na organização curricular de uma escola a qual se fundamenta na possibilidade integradora da articulação entre trabalho, cultura, ciência e tecnologia?
[...] Essa mudança exige que cada comunidade escolar reflita, discuta e estabeleça novos consensos mínimos acerca das concepções de educação, de ciência, de tecnologia, de trabalho, de cultura, de ser humano.
Enfim, o redesenho curricular tendo como eixo estruturante as dimensões do trabalho, da ciência, da tecnologia e da cultura exige a atualização do Projeto Político-Pedagógico das unidades escolares (BRASIL, 2013b, p. 38).
Deve refletir os caminhos mais adequados a serem trilhados para que os estudantes, com suas características pessoais, sociais, econômicas e culturais próprias, possam caminhar efetivamente na direção dos direitos à aprendizagem e ao desenvolvimento humano previstos nos textos legais.
A seguir apresentamos algumas considerações que envolvem conhecimentos matemáticos fundamentais, nas quais a Matemática e as demais áreas de conhecimento ou seus componentes possam intrinsecamente ser articulados por via das dimensões do trabalho, cultura, ciência e tecnologia
Funções • Funções trigonométricas são úteis para descrever fenômenos periódicos, como no caso do movimento de um pêndulo; Física • As funções logarítmicas servem para descrever o decaimento radioativo de isótopos de elementos químicos. Química • As funções Exponenciais ao estudo do crescimento de bactérias.. Biologia
Geometria • Diferentes povos têm utilizado figuras geométricas em diversas manifestações culturais, como em tecidos e máscaras e artefatos; • É interessante observar também que a localização espacial e a criação de sistemas de referência são fundamentais para o desenvolvimento de várias atividades humanas.
As origens dos conceitos matemáticos são tão antigas quanto a própria cultura. As motivações para a construção desses conceitos foram problemas ligados, por exemplo, ao comércio, à agricultura, às construções de grande porte ou às observações e registros sobre corpos celestes, com a finalidade de produzir objetos ou condições necessárias para a existência humana (trabalho), o que acarretou o desenvolvimento de ciência e tecnologia, constituindo portanto a cultura das respectivas épocas e sociedades. Em particular, a resolução de tais problemas de ordem prática, ou de questões culturais mais amplas, acabou por gerar conhecimentos, e dentre eles, conhecimentos matemáticos.  
Assim, por exemplo, o desenvolvimento de calendários foi uma questão central na China antiga, e os babilônios elaboraram sistemas de cálculo de áreas e métodos para a resolução de problemas comerciais, como estimativas de tempos, cálculos para a fixação de preços e empréstimos, dentre outros. Por sua vez, os egípcios usaram conhecimentos matemáticos para a construção de suas pirâmides e, na Grécia antiga, Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) utilizou conhecimentos matemáticos para construir diversos tipos de artefatos.
Ao longo do tempo, os registros foram se transformando em acervos de esquemas de representação, talvez primórdios das representações hoje próprias à Geometria. Embora a origem desse campo matemático possa ser encontrada no antigo Egito, onde surgiu a necessidade de se efetuar medições da terra devido às inundações periódicas do rio Nilo, são da Grécia antiga os primeiros registros encontrados de ideias desenvolvidas de maneira axiomática, ou seja, explicitando raciocínio lógico-dedutivo. Assim, no século VI a.C., a escola pitagórica unia Matemática, Filosofia e misticismo, deixando registros de importantes relações entre números e figuras  geométricas. O legado de Os Elementos, de Euclides de Alexandria (século III a. C.), imprime a marca até hoje característica da Matemática como ciência hipotético-dedutiva. Primeiro tratado sistemático encontrado sobre o conjunto dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos da Grécia antiga, a obra contém a teoria axiomática sobre a Geometria Euclideana plana e espacial e a importante contribuição da teoria das proporções de Eudoxo de Cnido (390 a.C. - 338 a. C.).
Um dos autores de uma importante edição de Os Elementos foi Teon de Alexandria, pai da primeira mulher considerada matemática: Hipátia (370 – 415), uma das mulheres mais relevantes do início da era cristã. Seus estudos incluíram também física, astronomia e filosofia, sendo a última diretora da Biblioteca de Alexandria.  Ao longo da história, algumas pessoas despontaram como dotadas de uma formação integrada, como atestam as obras que deixaram. No Renascimento, Leonardo da Vinci (1452 – 1519) merece destaque por ter sido - como se diria nos dias de hoje - matemático, engenheiro, inventor, anatomista, pintor, escultor, arquiteto e botânico. É bastante conhecido o uso que fez de geometria e de proporções tanto em seus quadros e esculturas, como nas construções que projetou. Os esboços encontrados de suas obras mostram com clareza a integração da ciência com a arte, da matemática com a biologia, e outras integrações tantas que se consigam elencar, como atesta o famoso esboço do Homem Vitruviano.
Currículo é percurso escolar. Deve refletir os caminhos mais adequados a serem trilhados para que os estudantes, com suas características pessoais, sociais, econômicas e culturais próprias, possam caminhar efetivamente na direção dos direitos à aprendizagem e ao desenvolvimento humano previstos nos textos legais. Será assim necessário, na construção de uma proposta curricular, fazer escolhas condizentes com os objetivos pretendidos e coerentes com as convicções e cultura próprias de cada equipe, em sua escola. Será necessário superar a tradição “enciclopedista” do Ensino Médio, com 13 disciplinas, todas buscando “cumprir um extenso programa”, refém apenas do objetivo “preparar para o vestibular”. Se o foco é a formação integral,  será necessário reorganizar, repensar os componentes curriculares, possibilitando espaços que promovam uma efetiva articulação entre áreas.
Nesse caso, também a avaliação merecerá ser compartilhada para não correr o risco de provocar uma fragmentação ainda maior, com mais do que 13 componentes, envolvendo instrumentos e “notas ou pareceres descritivos” separados. Pensar em integração requer a produção de instrumentos de avaliação também integrados, que permitam um olhar global sobre as aprendizagens dos estudantes.
A seguir apresentamos algumas considerações que envolvem conhecimentos matemáticos fundamentais, nas quais a Matemática e as demais áreas de conhecimento ou seus componentes possam intrinsecamente ser articulados por via das dimensões do trabalho, cultura, ciência e tecnologia.
Funções se constituem em um campo da Matemática no Ensino Médio que emergiu de questões pertinentes aos âmbitos das quatro dimensões articuladoras de currículos. Foram desenvolvidas como modelos para a compreensão de fenômenos variados e são  amplamente utilizadas em muitos âmbitos da atividade humana, como: Física, Química, Biologia, Astronomia, Economia, Sociologia, Comunicação, Demografia, Informática, Engenharia, entre outros. Assim, por exemplo, funções trigonométricas são úteis para descrever fenômenos periódicos, como no caso do movimento de um pêndulo; as funções logarítmicas servem para descrever o decaimento radioativo de isótopos de elementos químicos. Em 1798, o economista e demógrafo inglês Thomas Malthus (1766-1834) formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente como uma função exponencial do tempo. Esse modelo e suas posteriores modificações são aplicados, por exemplo, ao estudo do crescimento de bactérias.
A geometria está presente em todo lugar. Diferentes povos têm utilizado figuras geométricas em diversas manifestações culturais, como em tecidos e máscaras africanas, em mandalas como os yantras indianos, e a pintura corporal da etnia Kayapó do Brasil. Padrões geométricos também podem ser encontrados no artesanato brasileiro como na cerâmica Marajoara, nos bordados filé alagoanos e na renda renascença de origem pernambucana. Por sua vez, existiram vários movimentos artísticos relacionados à geometria. Entre eles o Neoplasticismo, cujo criador e principal teórico foi Piet Mondrian (1872- 1944) e o cubismo, sendo um de seus representantes o pintor Pablo Picasso (1881- 1973). No Brasil, em 1954 surgiu o Grupo Frente, do qual Lygia Clark (1920-1988) foi uma das fundadoras. Ela apresentou uma série de obras nas quais os elementos geométricos são centrais, como em “Superfícies Moduladas, 1955-57”. Essas séries de obras são instigantes e incentivam a participação ativa do observador que pode transformá-la numa nova obra.
É interessante observar também que a localização espacial e a criação de sistemas de referência são fundamentais para o desenvolvimento de várias atividades humanas, que vão desde a confecção de mapas impressos ou virtuais, até a determinação de rotas e distâncias, com o uso do GPS (Global Positioning System).     Reconhecer a existência de incerteza é fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático não-determinístico. Ela está presente na vida dos jovens, por exemplo, em relação ao mercado de trabalho e seus riscos. (BRASIL, 2013a). Nos mais diferentes âmbitos tenta-se quantificar as incertezas utilizando probabilidade e estatística, como no mercado financeiro, pesquisas de intenção de voto ou no esporte.    O jovem, para poder exercer inteiramente a cidadania, necessitará perceber que os números, taxas, índices e estimativas que são apresentadas nas mídias envolvem certo grau de incerteza e aleatoriedade, mesmo que as pesquisas tenham sido feitas com o maior rigor metodológico. A estatística está presente em vários campos, como por exemplo, no estudo da efetividade e segurança de um medicamento, em análises do funcionamento de um sistema, em campanhas eleitorais e mesmo em músicas.
Diálogo entre as áreas do conhecimento escolar: princípios e proposições pedagógico-curriculares. O desenvolvimento das discussões e propostas que faremos nessa unidade é baseado principalmente nos dois princípios destacados nas DCNEM como norteadores para a organização dos currículos e para a sua consecução na prática escolar: o trabalho como princípio educativo e a pesquisa como princípio pedagógico.       O trabalho aqui é então entendido no seu sentido ontológico, como lemos em Lukács (1981), “inerente à espécie humana e primeira mediação na produção de bens, conhecimentos e cultura.”
    Por seu lado, a pesquisa como princípio pedagógico […] contribui para a construção da autonomia intelectual do educando e para uma formação orientada pela busca de compreensão e soluções para as questões teóricas e práticas da vida cotidiana dos sujeitos trabalhadores. Afinal, formar integralmente os educando implica não só que estes aprendam o significado e o sentido das ciências, das tecnologias, das práticas culturais etc., mas é preciso fundamentalmente formar as pessoas para produzirem novos conhecimentos, compreender e transformar o mundo em que se vive. (BRASIL, 2013c, p. 35-36)
    A grade horária usual, com aulas de 50 minutos para que cada disciplina “cumpra um programa” (em geral voltado para conteúdos de vestibulares), seguramente muito contribui para a fragmentação do ensino, tradicionalmente observada no Ensino Médio. As grades horárias tradicionais dificultam enormemente a possibilidade de que as aqui chamadas atividades integradoras, superem o caráter de ser apenas uma superposição de “aplicações” simultâneas de alguns conhecimentos de diferentes  componentes. Se isso é mais do que a fragmentação e a falta de diálogo absoluto entre componentes ou áreas de conhecimento, é ainda muito menos do que o proposto nas DCNEM para a formação integral dos estudantes. Cabe ainda observar que o espaço tradicional de uma sala de aula, com lousa, giz, sua disposição de carteiras e os estudantes sentados em linhas e colunas, de frente para o professor expositor, tampouco favorece atividades mais dinâmicas e que envolvam a iniciativa dos estudantes em pesquisas ou a elaboração de produtos coletivos, eventualmente imprescindíveis em abordagens pedagógico-curriculares que privilegiem o protagonismo dos estudantes no seu próprio processo de aprendizagem, e que tenham por base o trabalho como princípio educativo.
Salientamos novamente a necessidade de que, em cada escola, a organização de um currículo por áreas de conhecimento no Projeto Político-Pedagógico (PPP) seja estabelecida a partir do entendimento e dos acordos possíveis entre os educadores de todas as áreas. Sem dúvida, há mais um desafio para a equipe escolar, a saber, o planejamento de atividades que contemplem de maneira efetiva a construção de conhecimentos de seu componente curricular, integrada a outros componentes e/ou áreas. Assim, também os professores da área de Matemática necessitarão repensar e reconhecer as possibilidades de contribuições em atividades integradoras, a partir dos conhecimentos que lhe são próprios, que possuam um alto potencial de articulação com contextos autênticos das demais áreas e sejam relevantes para a formação integral dos estudantes.     Assumir a pesquisa como princípio pedagógico significa buscar situações de interesse que contemplem a diversidade dos estudantes e permitam questionamentos. A partir destes, os estudantes poderão protagonizar investigações que levem a um entendimento mais completo da situação questionada e possibilitem intervenções transformadoras. Cabe aos professores serem mediadores desse processo.
Segundo explicam Galiazzi e Moraes (2002) o processo de educar pela pesquisa pode ser caracterizado por círculos reiterativos de três movimentos principais questionamento, construção e validação de argumentos. Assim, a essência da pesquisa é partir de perguntas para formular um projeto de investigação. ( Projeto de: reciclagem de lixo, banda escolar, violencia, uso de drogas, segurança, prevenção de acidentes, etc. )