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Sobre a Divisão de Polinômios

Enviado por kleberkilhian em ter, 01/05/2012 - 22:24

Dividir o polinômio $[;A(x);]$ pelo polinômio $[;B(x);]$ não identicamente nulo significa obter dois polinômios $[;Q(x);]$ (quociente) e $[;R(x);]$ (resto) que verficam as seguintes condições:

i) $[;A(x) \equiv B(x)Q(x) + R(x);]$ ;
ii) $[;gr(R) \prec gr(B);]$ ou $[;R(x) \equiv 0;]$ .

Observação 1: O símbolo " $[;\equiv;]$ " é usado para expressar identidade entre polinômios e significa que a expressão é válida para todos os valores de $[;x\;]$ . Além disso, $[;gr;]$ é o grau do polinômio, isto é, $[;gr(P) = m;]$ se e somente se $[;a_m \neq 0;]$ e todos os coeficientes com índices maiores que $[;m;]$ são nulos.

Exemplo 1: Efetue a divisão de $[;A(x) = x^3 + x + 2;]$ por $[;B(x) = x^2 - 1;]$ .

Resolução: Note que $[;R(x) \equiv 0;]$ ou o grau de $[;R(x);]$ é no máximo um, pois $[;gr(R) \prec gr(B) = 2;]$ . Assim, $[;R(x) = mx + n;]$

O próximo passo é determinar o grau de $[;Q(x);]$ . Da expressão $[;A(x) = B(x)Q(x) + R(x);]$ , segue que

$[;x^3+x+2 = (x^2 - 1)Q(x) + mx + n \qquad (1);]$

e para que essa expressão seja válida,

$[;gr(Q) = 1 \quad \Rightarrow \quad Q(x) = ax + b \qquad (2);]$

Em geral, é possível provar que $[;gr(Q) = gr(A) - gr(B);]$ . Para obter $[;Q(x);]$ e $[;R(x);]$ , substituímos $[;(2);]$ em $[;(1);]$ e resolvemos a identidade polinomial:

$[;x^3 + x + 2 = (x^2 - 1)(ax + b) + mx + n \quad \Rightarrow;]$ $[;x^3 + x + 2 = ax^3 + bx^2 - ax - b + mx + n \quad \Rightarrow;]$ $[;x^3 + 0x^2 + x + 2 = ax^3 + bx^2 + (m-a)x + n - b;]$

donde segue que $[;\begin{cases}a = 1\\b = 0\\m - a = 1 \quad \Rightarrow \quad m - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad m = 2\\n - b = 2 \quad n = 2 \end{cases};]$

Logo,

$[;Q(x) = x \quad \text{e} \quad R(x) = 2x+2;]$ Podemos também obter o quociente e o resto da divisão de dois polinômio pelo método da chave (divisão euclideana) para o qual adotamos o seguinte roteiro:

i) Ordenar os polinômios $[;A(x);]$ e $[;B(x);]$ segundo as potências decrescentes de $[;x\;]$ ;

ii) Dividimos o primeiro termo de $[;A(x);]$ pelo primeiro termo de $[;B(x);]$ para obtermos o primeiro termo de $[;Q(x);]$ . Em seguida multiplicamos o primeiro termo de $[;Q(x);]$ por $[;B(x);]$ , subtraindo de $[;A(x);]$ o produto obtido. O resultado é o primeiro resto parcial $[;R_1(x);]$ .

iii) Repetimos para $[;R_1(x);]$ o procedimento de ii) e assim sucessivamente até que o grau do resto $[;R(x);]$ fique menor que o grau de $[;B(x);]$ ou, no caso de divisão exata, que o resto seja nulo.

Exemplo 2: Obtenha o quociente e o resto das divisões de $[;A(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 4;]$ por $[;B(x) = x +1;]$ .

Resolução: Usando o método da chave, obtém-se $[;Q(x) = 2x^2 - x -2;]$ e $[;R(x) = 6;]$ conforme a primeira imagem do post.

Proposição 1: O resto da divisão de um polinômio $[;P(x);]$ pelo binômio $[;x - a;]$ é $[;P(a);]$ .

Demonstração: De fato,

$[;P(x) = (x - a)Q(x) + r \qquad (3);]$

onde $[;R(x) = r;]$ pois $[;gr(x - a) = 1;]$ . Fazendo $[;x = a;]$ em $[;(3);]$ , temos $[;P(a) = (a - a)Q(a) + r;]$ .

Exemplo 3: O resto das divisões de $[;P(x) = 3x^5 - x^4 + 2x^3 - x^2 + 1;]$ por $[;x - 1;]$ e $[;x + 2;]$ são:

$[;r_1 = P(1) = 3 - 1 + 2 - 1 + 1 = 4;]$ e $[;r_2 = P(-2) = 3(-2)^5 - (-2)^4 + 2(-2)^3 - (-2)^2 + 1 = -131;]$

Corolário 1: Um polinômio $[;P(x);]$ é divisível por $[;x - a;]$ se e somente se $[;P(a) = 0;]$ .

Demonstração: Segue diretamente da Prop. 1.

Exemplo 4: Mostre que se um polinômio $[;P(x);]$ é divisível por $[;x - a;]$ e $[;x - b;]$ com $[;a \neq b;]$ , então $[;P(x);]$ é divisível por $[;(x - a)(x - b);]$ .

Resolução: Basta mostrar que o resto $[;R(x);]$ da divisão de $[;P(x);]$ por $[;(x -a)(x - b);]$ é zero. De fato,

$[;P(x) = Q_1(x)(x - a) \quad \Rightarrow \quad P(a) = 0;]$

$[;P(x) = Q_2(x)(x - b) \quad \Rightarrow \quad P(b) = 0;]$

Mas,

$[;P(x) = Q(x)(x - a)(x - b) + mx + n;]$

Assim,

$[;\begin{cases}0 = P(a) = Q(a)\cdot 0 + m\cdot a + n \quad \Rightarrow ma + n = 0\\0 = P(b) = Q(b)\cdot 0 +m\cdot b + n\quad \Rightarrow mb + n = 0\end{cases};]$

Desse sistema concluímos que $[;m = n = 0;]$ ou seja, $[;R(x) \equiv 0;]$ .

Exercícios Propostos:

1) Determine o quociente e o resto da divisão de $[;A(x) = 2x^4 + x^3 - x^2 + x - 1;]$ por $[;B(x) = x^2+ 4x + 3;]$ .

2) Mostre que $[;x^n - a^n;]$ é divisível por $[;x - a;]$ .
3) Mostre que $[;x^{2n} - (k+1)x^2 + k;]$ é divisível por $[;x^2 - 1;]$ , sendo $[;n \in \mathbb{N};]$ .
4) Um polinômio $[;P(x);]$ quando dividido por $[;x - 2;]$ dá resto $[;13;]$ e dividido por $[;x + 2;]$ dá resto $[;5;]$ . Obter o resto da divisão de $[;P(x);]$ por $[;x^2 - 4;]$ . R: $[;R(x) = 2x + 9;]$